Matemáticas II · Selectividad y Bachillerato

Dojo de Matemáticas: aprende Matemáticas II jugando

Entrena el problema de sistemas de ecuaciones con parámetro de Matemáticas II de Selectividad, el clásico que cae casi todos los años.

La discusión de un sistema de ecuaciones lineales según un parámetro es uno de los ejercicios más reconocibles del bloque de álgebra de Matemáticas II. Este dojo entrena exactamente ese problema y solo ese: un sistema con el parámetro lambda que resuelves en tres pasos encadenados, calcular el determinante de la matriz de coeficientes, hallar los valores que lo anulan y discutir el sistema. No hay reloj: escribes tu expresión y la herramienta la compara algebraicamente al instante.

Jugar gratis

Qué practicas con Dojo de Matemáticas

  • Discusión de sistemas según el parámetro
  • Resolución paso a paso estilo examen
  • Justificar cada paso como pide el corrector

Cómo se juega

Resuelves el sistema paso a paso y el dojo valida tu álgebra al instante. Ilimitado y sin registro.

Por qué cuesta matemáticas ii

Casi nadie falla el determinante; se falla después. El error clásico es leer que el determinante se anula y concluir directamente que el sistema es incompatible, cuando anular el determinante solo dice que el rango de la matriz de coeficientes baja. Para saber si ese caso es incompatible o compatible indeterminado hay que sustituir el valor crítico y comparar el rango de A con el de la matriz ampliada A*, un paso que en el examen puntúa por sí solo.

El problema del Dojo, paso a paso

El ejercicio real del juego, con lo que se valida en cada paso.

  1. Sistema: x + 2y − z = 2; 2x + λy + z = 7; x + 2y + λz = 2. Paso 1: ¿cuál es el determinante de la matriz de coeficientes en función de λ?

    Respuesta: λ² + λ − 2

    Se resuelve por la regla de Sarrus y se agrupan términos. El juego compara tu expresión algebraicamente, así que cualquier forma equivalente vale.

  2. Paso 2: ¿para qué valores de λ se anula el determinante?

    Respuesta: λ = 1 y λ = −2

    Son las raíces de λ² + λ − 2 = 0. Solo en esos valores puede bajar el rango, así que son los únicos casos que hay que estudiar aparte.

  3. Paso 3: discute el sistema según el parámetro λ

    Respuesta: Compatible determinado cuando el determinante no se anula; en los valores críticos hay que comparar el rango de A con el de la ampliada.

    Anular el determinante no implica que el sistema sea incompatible: según el rango de la matriz ampliada puede ser compatible indeterminado. Ese paso es el que puntúa en el examen.

Estos son ejemplos fijos. En el juego cada partida genera ejercicios nuevos. Jugar a Dojo de Matemáticas

Preguntas frecuentes

Por el teorema de Rouché-Frobenius, cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada pero es menor que el número de incógnitas. Entonces hay infinitas soluciones, que dependen de tantos parámetros como la diferencia entre el número de incógnitas y el rango. Si los dos rangos coinciden y valen el número de incógnitas es compatible determinado, y si los rangos son distintos el sistema es incompatible.
Entonces el rango de la matriz de coeficientes es máximo siempre, los dos rangos coinciden con el número de incógnitas y el sistema es compatible determinado sea cual sea el parámetro. En ese caso puedes resolverlo por la regla de Cramer o por matriz inversa, y la discusión se reduce a justificar que el determinante nunca vale cero.
Porque el comportamiento del sistema solo cambia en esos valores. Para cualquier otro valor el determinante es distinto de cero y el caso queda resuelto de golpe. En cambio, en cada valor crítico hay que sustituirlo en el sistema y recalcular a mano los rangos de A y de A*, porque dos valores críticos del mismo problema pueden dar resultados distintos: uno incompatible y otro compatible indeterminado.
Sí, pero con cuidado: al triangular con un parámetro dentro es muy fácil dividir por una expresión que puede valer cero, y ahí se pierde justo el caso que el ejercicio quiere que discutas. Si usas Gauss, cada vez que dividas por algo que contenga el parámetro tienes que abrir ese caso aparte. Con determinantes localizas primero los valores críticos y luego solo estudias esos.
No. Tu expresión se compara algebraicamente, así que las formas equivalentes se dan por válidas: da igual que escribas el determinante desarrollado o factorizado. Escribe el parámetro como lambda y apóyate en el teclado matemático para los símbolos. Los valores críticos se comparan como conjunto, separados por comas, sin importar el orden en que los pongas.
Sí, Dojo de Matemáticas es totalmente gratis y puedes jugar sin registro y sin límite.

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